Donate - Поддержка фонда Ф.Б.Березина

Закон исключенного третьего

К предыдущему

ОТСТРАНЕННОЕ МЫШЛЕНИЕ

ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО

До Рассела никто не сомневался в непреложности правила исключенного третьего. В теории множеств Кантора, которому впервые удалось построить строгую теорию бесконечности, то есть создать формальный аппарат, оперирующий с бесконечными множествами, предполагалось (это положение представлялось естественным даже такому гиганту как Кантор, перешедшему, казалось бы, все границы "очевидного"), что множество однозначно определяется принципами включения. Что всегда можно доказать существование некоторого элемента бесконечного множества, даже не убеждаясь непосредственным конструированием, что такой элемент действительно существует. Для Кантора эта уверенность в неограниченности высказываний, содержащих слова "все" и "существует", была равносильна уверенности в существовании достоверных и строгих математических доказательств, то есть речь шла о строгом основании математики, казалось бы, неотделимом от созданного Кантором исчисления бесконечностей. Исходя из парадоксов типа "эпименида" (апория IV в. до н.э. Эвбулида из Милета), Рассел указал на возможность ситуаций, в которых правила включения теряют свою однозначность. В таких случаях, развертывая бесконечное множество, можно не обнаружить элемент, который, согласно своим свойствам, должен принадлежать этому множеству. Иначе говоря, утверждение всеобщности и существования предполагает такую внутреннюю упорядоченность в мире математических понятий, которую нельзя допустить, не делая спиритуалистические предположения типа предустановленной гармонии, совершенно ненужные для математики. Ситуация для математики создавалась просто катастрофическая.

В то же время в возникшей в этой связи дискуссии Рассел не разделял скептицизм интуиционистов, таких как Г.Вейль и Л.Брауэр, сомневавшихся в возможности неконструктивной математики, то есть в самой допустимости теорем существования. Одновременно он не был склонен, подобно формалистам (Гильберт), надеявшихся полностью аксиоматизировать математику, лишать математические утверждения какого-либо содержания, превращая оперирование математическими символами в чистую игру.

Его реализм выразился в построении теории типов (до сих пор вызывающей споры среди логиков). В ней содержится попытка строго различать степени элементарности утверждений: конкретные утверждения нулевой общности, утверждения, использующие кванторы типа "все" и "существует", суждения относительно этих суждений и так далее. В этом смысле апория "лжеца" разрешается таким образом: критяне могут быть лгунами нулевого типа, а Эпименид — правдецом первого типа, то есть его общее утверждение еще не влечет опровержения частного утверждения: "критяне — лгуны нулевого порядка". Таким образом, оперировать объектами, построенными с помощью кванторов существования, не запрещается, как у интуиционистов Вейля и Брауэра, а лишь утверждается, что это объекты более высокого типа.

Рассел — в этом и виден его реализм — пытался с помощью иерархии вернуть математике достоверность (которой ее сам же было лишил своим теоретико-множественными парадоксами) и не считал ее, как конвенционалисты, чистой игрой в символы.

Читать дальше

К содержанию книги "Огненный лед"

К комментариям в ЖЖ


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Хостинг КОМТЕТ