Donate - Поддержка фонда Ф.Б.Березина

Теоретическое мышление

К предыдущему

ГЕРМЕТИЧЕСКАЯ ПЕДАГОГИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ

Так возникает потребность в логике, которая, конечно, не нужна русалкам. Ведь для русалок в их единственно возможном мире и так все предельно ясно, то есть аксиомы, которые теоретику представляются лишь произвольными соглашениями, для русалок — очевидные истины. Но мы уже видели, что теоретическое мышление предполагает способность выделять из внешнего мира какие-нибудь воспроизводимые процессы. Такая способность превращать в "музыку" внешнюю данность присуща именно культуре. "Естественному" существу никогда не придет в голову, как великому ирландскому поэту У.Б.Йитсу, редактировать свои старые письма, чтобы все в его судьбе было подчинено единому замыслу и было бы свободно от случайных элементов.

Существует мнение (Пользуюсь случаем, чтобы выразить благодарность Ф. Б. Березину, поделившемуся со мной результатами своих клинических наблюдений), что во сне разум, в отличие от бодрствующего (рационального) состояния, воспринимает мир предельно индивидуализированным, ибо сон освобождает человека от каких-либо правил игры, его психика становится естественной и тем самым безусловной. Можно сказать, что мышление спящего человека ближе к искусству, чем к теоретическому ("зеркальному") миру. В этом отношении мир сна — это менее всего мир фантазии. Наоборот, мы никогда так не связаны реальностью, как во сне, то есть "зеркальный мир", мир логики, противоположен "сну".

Искусственный логический мир подчиняется своим внутренним правилам. Для того, чтобы "играть" в нем, надо уйти в отгороженное от мира пространство. Поэтому прообразом университетского образования, возникшего в средние века, и является обычай формировать разум юноши, изолируя его от внешнего мира. Благодаря этому представитель "зеркального" мира Льюис Кэрролл, выросший во "внутреннем" оранжерейном мире Оксфорда, и смог создать свой воображаемый мир. Теперь нам понятны слова Честертона о Кэрролле: "Надо уйти в сказочный мир, чтобы мыслить логично" (чтобы быть свободным от "сновидений").

Знаменательно, что просветители считали логику, которую, как известно, успешно развивали схоласты, совершенно ненужным извращением естественного человеческого разума. И это понятно. Истина, скрытая в природе, должна являться естественному здоровому разуму не посредством искусственных и чуждых самому объекту исследования правил, а путем свободного и непредвзятого созерцания. Разумеется, "естественная" истина открывается нам в согласии со здравым смыслом, то есть с "естественным" рассудком.

Отсюда идеи о свободном и естественном человеке, об исследовании, свободном от каких-либо предвзято-стей, не связанном никакими правилами игры. Неудивительно, что представление просветителей об интеллектуальной свободе сводилось к простым формулам типа "раздавите нечестивую". Они не понимали, что связывая себя идеей истины, открытой чувствам, они накладывают на человеческий разум ограничения еще более жесткие, чем те догмы, против которых они восставали.

Действительно, если проанализировать любое геометрическое доказательство, легко заметить, что простое созерцание геометрической фигуры ничего нам не дает, хотя, казалось бы, имея перед глазами, например, треугольник, мы можем узнать о нем все, доступное разуму и чувствам. Однако оказывается, что все геометрические свойства фигуры раскрываются лишь тогда, когда мы проведем ряд добавочных линий и построим некоторую новую фигуру, однозначно связанную с исходной. С "естественной" же точки зрения самое построение совершенно немотивировано. Знаменитый парадокс рук Канта гласит, что фигуры неразличимые, то есть равные с точки зрения принципа достаточного основания Лейбница, могут быть неконгруэнтными (не совпадающими при наложении). Отсюда делается вывод, что собственно геометрические свойства содержатся не в фигуре, а в допустимых движениях этой фигуры в данном пространстве. Тем самым конгруэнция, являющаяся принципом геометрического построения (его "мотивировкой"), отражает не только внутренние свойства фигур, которые должны были бы совпадать в неразличимых фигурах, но и геометрические свойства, которые не могут открыться при "естественном" наблюдении.

Нельзя сказать, как часто думают, что подлинная геометрия внешнего мира раскрывается с помощью более точных измерений или же благодаря иной постановке экспериментов. Наоборот, любое измерение связано соглашениями, обуславливающими выбор конгруэнции фигур данной геометрии. То есть всякое утверждение предполагает структуру. Для сравнения объекта и эталона надо договориться какие же фигуры считать равными. И если речь идет об измерении длины в евклидовом пространстве, самое понятие измеряемой величины заключается не в объекте измерения, а в движениях, совмещающих объект и эталон. Таким образом, познание начинается лишь в рамках культуры, то есть соглашений, чуждых самому предмету, поскольку палке совершенно безразлично, равна ли она другой палке или нет.

Мы приходим здесь к идеям Эрлангенской программы Ф.Клейна, которая классифицирует различные геометрии по допустимым группам движений, осуществляющих построение. Известно, например, что в евклидовой геометрии равными считаются фигуры, отожествляемые сдвигами и поворотами. В геометрии группа конгруэн-ций вводит структуру языка, который и позволяет изучать геометрические свойства тел, игнорируя сами тела, то есть позволяет создать "музыкальную" теорию, отделяющую геометрические построения от каких-либо чувственных образов, чем и обуславливается возможность "воображаемых" (неевклидовых) геометрий, в которых, как у Кэрролла, все наоборот.

квадрат

 

 

 

 

B "Меноне" Платона Сократ, желая продемонстрировать тезис о "естественном и необходимом" характере геометрии, приводит мальчика-раба к осознанию формулы удвоения площади квадрата (к построению √2) с помощью серии "естественных" вопросов. Все эти вопросы действительно носят естественный характер, исходят из самой задачи. Все, кроме одного: равны ли треугольники, образованные диагональю АВ (АВО и АВР)?

Раб наивно отвечает: "Это очевидно", не понимая, что Сократ навязывает ему критерий равенства геометрии Евклида, полагающей равными фигуры, совмещаемые с помощью наложений, то есть евклидову конгруэнцию. В других геометриях, основанных на более широкой структуре, равенство определяется иначе. Например, в геометрии Лобачевского, в которой линейные элементы связаны с углами, равными считаются треугольники, лишь подобные с точки зрения евклидовой геометрии. Иначе говоря, геометрическая истина открывается не бесстрастному наблюдателю геометрического объекта — ведь "здравому смыслу" не пристала идея связывать с задачей удвоения площади квадрата, казалось бы, совершенно не имеющий к ней какого-либо отношения вопрос о равенстве треугольников, — а умеющему задавать вопросы "праздные" и "бессодержательные" (не относящиеся к сути дела).

Здесь в "Меноне" и появляется знаменитое "я знаю, что ничего не знаю". Не как свидетельство "скромности" Сократа, а как основной эвристический принцип сократовских рассуждений, согласно которому человека надо серией вопросов заставить отказаться от "естественного" взгляда на вещи (от здравого смысла) и завлечь в систему рассуждений, чтобы он перестал ощущать вопросы собеседника как праздные. Тогда только ему откроется истина. Здесь Платон, в сущности, признает, что геометрическое мышление не имеет какого-либо отношения к сути дела (к выяснению истины). Он, правда, не идет до конца, и ему все-таки кажется, что Человек, если и не может с помощью чувств узнать, какие фигуры равны, а какие нет, то где-то это знание все же таится, и в мире идей душе откроются абстрактные истины, суть вещей, скрытая дотоле в мире чувств.

Современная математика, рассматриваемая как самостоятельная наука, трактует (даже если вопрос о реальной геометрии внешнего, физического пространства и о ее связи с экспериментом и не решен до конца) систему аксиом именно как систему соглашений (в том смысле, который придавал конвенционализму А.Пуанкаре), определяющих грамматику данной теории.

Читать дальше

К содержанию книги "Огненный лед"

К комментариям в ЖЖ


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Хостинг КОМТЕТ